Finite Automata

Finite automata adalah mesin abstrak berupa sistem model matematika dengan masukan dan keluaran diskrit yang dapat mengenali bahasa paling sederhana (bahasa reguler) dan dapat diimplementasikan secara nyata.

1.      Finite State Automata

• Model matematika suatu sistem yang menerima input dan output diskrit

• Mesin automata dari bahasa Regular

• Tidak memiliki tempat penyimpanan sehingga kemampuan mengingat terbatas (contoh: elevator/lift)

• Aplikatif berguna untuk merancang sistem nyata.

• Aplikasi meliputi: analisis leksikal, text-editor, protokol komunikasi jaringan (kermit) dan parity checker (pengecek parity).

FSA didefinisikan sebagai pasangan 5 tupel : (Q, ∑, δ, S, F). FSA atau AH (Automata Hingga) didefinisikan sebagai pasangan 5 Tupel  M = (Q, ∑, δ, S, F).

Q                     : himpunan hingga state

∑ (Sigma)       : himpunan hingga simbol input (alfabet)

δ (Delta)          : fungsi transisi, menggambarkan transisi state FSA akibat pembacaan simbol input. Fungsi transisi ini biasanya diberikan dalam bentuk tabel.

S ∈ Q               : state AWAL

F ⊆ Q              : himpunan state AKHIR

Contoh :
Seorang petani dengan seekor serigala, kambing dan seikat rumput berada pada suatu sisi sungai. Tersedia hanya sebuah perahu kecil yang hanya dapat dimuati dengan petani tersebut dengan salah satu serigala, kambing atau rumput. Petani tersebut harus menyeberangkan ketiga bawaannya kesisi lain sungai.

Tetapi jika petani meninggalkan serigala dan kambing pada suatu saat, maka kambing akan dimakan serigala. Begitu pula jika kambing ditinggalkan dengan rumput, maka rumput akan dimakan oleh kambing. Mungkinkah ditemukan suatu cara untuk melintasi sungai tanpa menyebabkan kambing atau rumput dimakan.

Jawab :

Tupel: M = (Q, ∑, δ, S, F)

Q                     = {PKSR-Φ, SR-PK, PSR-K, R-PSK, S-PKR, PKR-S, PSK-R, K-PSR, PK-SR, Φ-PKSR}

Σ                       = {p, k, s, r}

S                      = PKSR – Φ

F                       = {Φ-PKSR}

Ada dua jenis FSA, Finite State Automata dapat berupa:

1. Deterministic Finite Automata (DFA)

Artinya: Dari suatu state ada tepat satu state berikutnya untuk setiap simbol input yang diterima. Deterministic finite automata (DFA)  M = (Q, ∑, δ, S, F), dimana :

Q                     : himpunan state/kedudukan

∑                     : himpunan simbol input

∂                      : fungsi transisi,dimana ∂ ∈ Q x ∑  Q

S                      : State awal (initial state)

F                      : himpunan state akhir (Final State)

Language  L(M) : (x| ∂(S,x) di dalam F)

Penelusuran/Tracking:

Telusurilah, apakah kalimat-kalimat berikut diterima DFA di atas:

abababaa, aaaabab , aaabbaba

Jawab :

δ (q0,abababaa) ⇒ δ (q0,bababaa) ⇒ δ (q1,ababaa) ⇒

δ (q0,babaa) ⇒ δ (q1,abaa) ⇒ δ (q0,baa) ⇒ δ (q1,aa) ⇒

δ (q0,a) ⇒ q0

Tracking berakhir di q0 (state AKHIR) ⇒ kalimat abababaa diterima

Kesimpulan :

Sebuah kalimat diterima oleh DFA di atas jika tracingnya berakhir di salah satu state AKHIR.

2. Nondeterministic Finite Automata (NDFA) / NFA

Artinya: Dari suatu state bisa terdapat 0,1 atau lebih busur keluar (transisi) berlabel simbol input yang sama. Non Deterministic finite automata (NFA)  M = (Q, ∑, δ, S, F), dimana :

Q : himpunan state/kedudukan

∑ : himpunan simbol input

∂ : fungsi transisi, dimana ∂ ∈ Q x (∑ ⋃ ε)  P(Q)

P(Q) : set of all subsets of Q

S : State awal (initial state)

F : himpunan state akhir (Final State)

Language  L(M) : (x| ∂(S,x) di dalam F)

Ekuivalen antar DFA

Untuk suatu bahasa regular, kemungkinan ada sejumlah Deterministic Finite Automata yang dapat menerimanya. Perbedaannya hanyalah jumlah state yang dimiliki otomata-otomata yang saling ekuivalen tersebut. Tentu saja, dengan alasan kepraktisan, kita memilih otomata dengan jumlah state yang lebih sedikit.  Dua DFA M1 dan M2 dinyatakan ekuivalen apabila L(M1) = L(M2)

Reduksi Jumlah State

Reduksi dilakukan untuk mengurangi jumlah state tanpa mengurangi kemampuan untuk menerima suatu bahasa seperti semula (efisiensi). State pada FSA dapat direduksi apabila terdapat useless state. Hasil dari FSA yang direduksi merupakan ekivalensi dari FSA semula

Sasaran kita di sini adalah mengurangi jumlah state dari suatu Finite State Automata, dengan tidak mengurangi kemampuannya semula untuk menerima suatu bahasa.
Ada dua buah istilah baru yang perlu kita ketahui yaitu :

1.      Distinguishable yang berarti dapat dibedakan :

Dua state  p dan q dari suatu DFA dikatakan indistinguishable apabila:
δ(q,w) ∈ F dan δ(p,w) ∈ F atau δ(q,w) ∉ F dan δ(p,w) ∉ F untuk semua w ∈ S*

2.      Indistinguishable yang berarti tidak dapat dibedakan.

Dua state  p dan q dari suatu DFA dikatakan distinguishable,
jika ada string w ∈ S*  hingga: δ(q,w) Î δ(q,w) ∈F dan δ(p,w) ∉F

Pasangan dua buah state memiliki salah satu kemungkinan : distinguishable atau indistinguishable tetapi tidak kedua-duanya. Dalam hal ini terdapat sebuah relasi :

Jika p dan q indistinguishable, dan q  dan r indistinguishable maka p,  r indistinguishable dan p, q, r indistinguishable

Dalam melakukan eveluasi state, didefinisikan suatu relasi :     

Untuk Q yang merupakan himpunan semua state D  adalah  himpunan state-state distinguishable,  dimana D ⊂ Q   Nadalah himpunan state-state indistinguishable, dimana N ⊂ Q maka  x ∈ N jika x ∈ Q dan x ∉ D

source : 

http://kuliahkusayang.blogspot.com/2010/03/finite-state-automata-fsa.html#ixzz6KVLqXQ99